Question

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60°

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值

Answer 1

答案：
解析：

(1)在四棱锥P－ABCD中，由PO⊥平面ABCD，得 　　∠PBO是PB与平面ABCD所成的角，∠PBO＝60°－－－－－－－2分 　　在Rt△AOB中BO＝ABsin30°＝1，由PO⊥BO， 　　于是，PO＝BOtg60°＝，而底面菱形的面积为2－－－－－4分 　　∴四棱锥P－ABCD的体积V＝×2×＝2－－－－6分 　　(2)解法一：以O为坐标原点，射线OB、OC、OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系在Rt△AOB中OA＝，于是，点A、B、D、P的坐标分别是A(0，－，0)，B(1，0，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)E是PB的中点，－－－－－－－8分 　　则E(，0，)－－－－－－－9分 　　于是＝(，0，)， 　　＝(0，，)－－－－－－－11分 　　设的夹角为θ， 　　有cosθ＝，－－－－－－－13分 　　∴异面直线DE与PA所成角的余弦值为；－－－－－－－14分