Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD= ，求三棱锥E﹣ACD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，

∴EO∥PB，（2分）

EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）

（2）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，

∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，

∴CD⊥平面AMD，

∵二面角D﹣AE﹣C为60°，

∴∠CMD=60°，

∵AP=1，AD= ，∠ADP=30°，

∴PD=2，

E为PD的中点．AE=1，

∴DM= ，

CD= = ．

三棱锥E﹣ACD的体积为： = = ．

【解析】（1）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（2）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．