Question

已知S_n=a₁C_n¹+a₂C_n²+a₃C_n³+a₄C_n⁴+…+a_nC_nⁿ，b_n=n•2ⁿ
（1）若{a_n}是等差数列，且首项是展开式的常数项的，公差d为展开式的各项系数和①求S₂，S₃，S₄，②找出S_n与b_n的关系，并说明理由．
（2）若，且数列{c_n}满足，求证：{c_n}是等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二项式定理求出，a₁=1，d=1，①利用组合数公式可求出S₂，S₃，S₄，②可得出S_n=b_n，再用倒序相加法证明．
（2）通项a_kC_n^k=，利用分组法，结合二项式定理的逆用、二项式系数的性质，求出 T_n==[]．再利用数列Tn与cn的关系求出c_n=，从而易证{c_n}是等比数列．
解答：解：（1）展开式的通项为=，令3-r=0，r=2，
常数项为（-2）²C₆²=60，a₁=1，在展开式中令x=1，得出各项系数和为（1-2）⁶=1，即d=1．a_n=n．
①S₂=C₂¹+2C₂²=4，S₃=C₃¹+2C₃²+3C₃³=12，S₄=C₄¹+2C₄²+3C₄³+4C₄⁴=32
②S_n=b_n
∵S_n=C_n¹+2C_n²+3C_n³+4C_n⁴+…+nC_nⁿ
又 S_n=nC_nⁿ+（n-1）C_{n ^n-1}+（n-2）C_{n ^n-2}+（n-3）C_{n ^n-3}+…+C_n¹
两式相加得2S_n=C_n¹+n（C_n¹+C_n²+C_n³+C_n⁴+…+C_n^n-1_）+nC_n^n₌n（2n-C_n-C_nⁿ）+2n=n•2ⁿ=b _n
∴S_n=b_n．
（2）∵a_kC_n^k=     
∴S_n=-=-（2ⁿ-1）=[（1+q）ⁿ-2ⁿ]．
∴T_n==[]．
当n=1时，c₁=T₁==．
当n≥2时 c_n=T_n-T_n-1=[]=，对n=1时也成立．
∴c_n=，{c_n}是以为首项，以为公比的等比数列．
点评：重点考察二项式定理的应用，解决的方法有倒序相加法求和，利用数列和的定义求通项，难点在于综合分析，配凑逆用二项式定理，属于难题．考查计算、化简能力．