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    【题目】已知椭圆的离心率为，且过点

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）设直线与圆相切于点，且与椭圆只有一个公共点.

    ①求证： ；

    ②当为何值时， 取得最大值？并求出最大值.

    【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)①.证明见解析；②.答案见解析.

    【解析】试题分析：(1)椭圆的离心率为，又椭圆过已知点，即，再加上，联立可求得；（2）直线与圆及椭圆都相切，因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程)联立方程组，此方程组只有一解，由此可得到题中参数的关系式，当然直线与圆相切，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式，得到的两个等式中消去参数即可证得①式；而②要求的最大值，可先求出，注意到，因此，这里设，由①中的方程(组)可求得，最终把用表示， ，利用不等式知识就可求得最大值.

    试题解析：(1)椭圆E的方程为4分

    （2）①因为直线与圆C: 相切于A,得,

    即① 5分

    又因为与椭圆E只有一个公共点B，

    由得,且此方程有唯一解.

    则即

    ②由①②,得8分

    ②设，由得

    由韦达定理,

    ∵点在椭圆上,∴

    ∴10分

    在直角三角形OAB中,

    ∴12分

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