Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）证明当时， ；

（Ⅲ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）整数的最小值为2．

【解析】试题分析：（1）求出导数，解即可求出单减区间；（2）由（Ⅰ）得： 在递减，∴，故， 时， ，分别令，累加即可得证；（3）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立，只需利用导数求的最大值即可.

试题解析：

（Ⅰ）因为，所以

此时， ，

由，得，又，所以，所以的单调减区间为．

（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得： 在递减，∴，

故， 时， ，分别令，

故 ，

∴时， ．

（Ⅲ）由恒成立得在上恒成立，问题等价于在上恒成立．

令，只要．

因为，令，得．

设， 在上单调递减，不妨设的根为．当时， ；当时， ，

所以在上是增函数；在上是减函数．

所以 ．

因为， ，所以，此时，即．

所以整数的最小值为2．