Question

递增等比数列{a_n}中a₁=2，前n项和为S_n，S₂是a₂，a₃的等差中项：
（Ⅰ）求S_n及a_n；
（Ⅱ）数列{b_n}满足b_n=•+，{b_n}的前n项和为Tn，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出公比q，利用S₂是a₂，a₃的等差中项等差中项，求出q，然后利用等比数列通项公式与前n项和即可求S_n及a_n；
（Ⅱ）结合（Ⅰ），求出数列{b_n}满足b_n=•+的表达式，通过裂项法直接求{b_n}的前n项和为T_n，然后利用基本不等式求的最小值．
解答：解（Ⅰ）设公比为q   S₂是a₂，a₃的等差中项，所以2S₂=a₂+a₃，
⇒4（1+q）=2q+2q²，q=2，
∴a_n=2ⁿ，
S_n==2ⁿ⁺¹-2．…（6分）
（Ⅱ）b_n=•+
=+
=，
b_n==，
∴T_n=
=，
∴===，当且仅当n=4时等号成立．…．（12分）
点评：本题是中档题，考查等差数列与等比数列的综合应用，数列求和的常用方法--裂项法，基本不等式的应用，注意基本不等式中等号成立的条件．