Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=-x²-2x-2．
（1）求出函数f（x）（x∈R）的解析式；
（2）写出函数f（x）（x∈R）的增区间；
（3）若函数g（x）=f（x）-2ax（x∈[1，2]），求函数的g（x）最小值．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，再设x＞0，根据函数的表达式结合函数为奇函数的性质得f（x）=-f（-x）=x²-2x+2，最后综合可得函数f（x）的表达式；
（2）由二次函数根据解析式即可求出单调区间；
（3）得到g（x）=x²-2x-2ax+2，问题即转化为求二次函数在给定区间上的最值问题．

解答：解：（1）1°因为函数是奇函数，所以x=0时，f（0）=0
2°设x＞0，则-x＜0，根据当x＜0时，f（x）=-x²-2x-2，
得f（-x）=-x²+2x-2
∵f（x）为定义在R上的奇函数
∴f（x）=-f（-x）=x²-2x+2
综上：f(x)=

-x2-2x-2    x＜0 0 x=0 x2-2x+2        x＞0

（2）函数f（x）（x∈R）的增区间为：（-∞，-1]，[1，+∞）
（3）由于函数g（x）=f（x）-2ax=x²-2（1+a）x+2（x∈[1，2]）
的图象开口向上，对称轴为x=1+a，
则①当a+1＜1即a＜0时，
函数g（x）在区间[1，2]上单调递增，
故y_min=g（1）=1-2a；
②当1≤a+1≤2即0≤a≤1时，
函数g（x）在区间[1，a+1]上单调递减，在区间（a+1，2]上单调递增，
故y_min=g（a+1）=2-（a+1）²；
①当a+1＞2即a＞1时，
函数在区间[1，2]上单调递减，
故y_min=g（2）=2-4a，
综合可得，a＜0时，y_min=1-2a
0≤a≤1时，y_min=2-（a+1）²
a＞1时，y_min=2-4a．

点评：本题以二次函数和分段函数为例，着重考查了函数奇偶性的性质和奇偶性与单调性的综合等知识点，属于中档题．