Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）=-f（x）?．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）若f（x）为奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=

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2

x，求f（x）在[-1，3]的解析式；
（3）在（2）的条件下．求使f（x）=-

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2

在[0，2 011]上的所有x的个数．

Answer 1

分析：（1）由已知等式f（x+2）=-f（x），用x+2替换x，结合函数周期性的定义和已知条件，不难得到f（x）是以4为一个周期的周期函数．
（2）根据函数在[0，1]上的表达式结合函数为奇函数，可得当-1≤x≤0时，f（x）=

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2

x．再设1＜x≤3，则得f（x-2）=

1

2

（x-2）=-f（x），从而可得f（x）在区间（1，3]上的表达式，综上所述，可得f（x）在[-1，3]的解析式．
（3）当x∈[-1，3）时，f（x）=-

1

2

的解是x=-1，再结合f（x）是以4为周期的函数可得：f（x）=-

1

2

的所有解为x=4n-1 （n∈Z），再解不等式，通过找整数解得到使f（x）=-

1

2

在[0，2 011]上的所有x的个数．

解答：解（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），…（2分）
∴f（x）是以4为一个周期的周期函数．…（4分）
（2）解  当0≤x≤1时，f（x）=

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2

x，
设-1≤x≤0，则0≤-x≤1，∴f（-x）=

1

2

（-x）=-

1

2

x．
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-

1

2

x，即f（x）=

1

2

x．…（6分）
故f（x）=

1

2

x（-1≤x≤1）…（8分）
再设1＜x≤3，则-1＜x-2≤1，∴f（x-2）=

1

2

（x-2），
又∵f（x-2）=-f（x），∴-f（x）=

1

2

（x-2），可得f（x）=-

1

2

（x-2）（1＜x≤3）．
综上所述，f（x）在[-1，3]的解析式为：f（x）=

1 2 x                (-1≤x≤1) - 1 2 (x-2)       (1＜x≤3)

…（10分）
（3）由f（x）=-

1

2

，当x∈[-1，3）时，解得x=-1．
∵f（x）是以4为周期的周期函数．
∴f（x）=-

1

2

的所有解为x=4n-1 （n∈Z）．…（12分）
令0≤4n-1≤2011，则

1

4

≤n≤503，
又∵n∈Z，∴1≤n≤503 （n∈Z），
∴在[0，2 011]上共有503个x使f（x）=-

1

2

．…（14分）

点评：本题以分段函数为例，求函数的周期并求函数的解析式，着重考查了函数的奇偶性、周期性和方程解的个数讨论等知识，属于基础题．