Question

如图，焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为A和B，且

AB

与

n

=(

2

，-1)共线．
（Ⅰ）求椭圆D的标准方程；
（Ⅱ）过点M（0，m）且斜率为

2

的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q，若以PQ为直径的圆经过原点O，求实数m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，由已知得A（a，0）、B（0，b），故

AB

=(-a，b)，由

AB

与

n

=(

2

，-1)共线，知a=

2

b，由此能求出椭圆E的标准方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），把直线方程y=

2

x+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，得，5x2+4

2

mx+2m2-2=0，故x1+x2=-

4 2 m

5

，x1x2=

2m2-2

5

，△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，故m²＜5．由以PQ为直径的圆经过原点O知

OP

•

OQ

=0，由此能求出实数m的值．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，
由已知得A（a，0）、B（0，b），
∴

AB

=(-a，b)，
∵

AB

与

n

=(

2

，-1)共线，
∴a=

2

b，又a²-b²=1（3分）
∴a²=2，b²=1，
∴椭圆E的标准方程为

x2

2

+y2=1（5分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
把直线方程y=

2

x+m代入椭圆方程

x2

2

+y2=1，
消去y，得，5x2+4

2

mx+2m2-2=0，
∴x1+x2=-

4 2 m

5

，x1x2=

2m2-2

5

（7分）
△=32m²-20（2m²-2）=-8m²+40＞0，
∴m²＜5（8分）
∵以PQ为直径的圆经过原点O，
∴

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0（9分）
又y1y2=(

2

x1+m)(

2

x1+m)=2x1x2+

2

m(x1+x2)+m2=

4m2-4

5

-

8m2

5

+m2
由x₁x₂+y₁y₂=0得

4m2-4-8m2+5m2+2m2-2

5

=0，
∴m²=2＜5（11分）
∴m=±

2

（12分）

点评：本题考查椭圆标准方程的求法和求实数的值，综合性强，难度大，是高考的重点，解题时要认真审题，仔细解答．