【题目】如图, 是圆
的直径,点
是圆
上异于
的点,
垂直于圆
所在的平面,且
.
(1)若为线段
的中点,求证
平面
;
(2)求三棱锥体积的最大值;
(3)若,点
在线段
上,求
的最小值.
【答案】(1)见解析(2)(3)
.
【解析】试题分析:
(1)由等腰三角形三线合一可得,由线面垂直的定义可得
,最后利用线面垂直的判断定理可得
平面
.
(2)当底面ABC面积最大时,三棱锥体积由最大值,由几何关系可得当时,
面积的最大值为
,结合三棱锥体积公式可得三棱锥
体积的最大值为
.
(3)将将侧面绕
旋转至平面C
,使之与平面
共面,由平面几何的知识可知
,
,
共线时,
取得最小值.结合筝形的性质计算可得
的最小值为
.
试题解析:
(1)在中,因为
,
为
的中点,所以
.
又垂直于圆
所在的平面,所以
.
因为,所以
平面
.
(2)因为点在圆
上,所以当
时,
到
的距离最大,且最大值为
.
又,所以
面积的最大值为
.
又因为三棱锥的高
,
故三棱锥体积的最大值为
.
(3)在中,
,
,所以
.
同理,所以
.在三棱锥
中,将侧面
绕
旋转至平面C
,使之与平面
共面,如图所示.
当,
,
共线时,
取得最小值.
又因为,
,所以
垂直平分
,即
为
中点.
从而,
亦即的最小值为
.
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【题目】运动会时,高一某班共有28名同学参加比赛,每人至多报两个项目.15人参加游泳,8人参加田径,14人参加球类.同时参加游泳和田径的有3人,同时参加游泳和球类的有3人,则只参加一个项目的有______人.
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)写出曲线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点是曲线
上一点,若点
到曲线
的最小距离为
,求
的值.
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【题目】如图所示,椭圆的短轴为
,
,离心率
,
为第一象限内椭圆上的任意一点,设
轴于
,
为线段
的中点,过
作直线
轴.
(1)求椭圆的方程;
(2)若的纵坐标为
,求直线
截椭圆
所得的弦长;
(3)若直线交直线
于
,
为直线
上一点,且
为原点),证明:
为线段
的中点.
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【题目】十九大指出中国的电动汽车革命早已展开,通过以新能源汽车替代汽/柴油车,中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2018年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本2500万元,每生产x(百辆),需另投入成本万元,且
.由市场调研知,每辆车售价5万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2018年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式;(利润=销售额-成本)
(2)2018年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.
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