Question

【题目】已知函数．

（）若，确定函数的单调区间．

（）若，且对于任意， 恒成立，求实数的取值范围．

（）求证：不等式对任意正整数恒成立．

Answer 1

【答案】（1）单调增区间为，减区间为；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：

（1）求出导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间；

（2），只要时， 恒成立即可，因此利用导数求出在上的最小值，由此最小值大于0可得的范围，注意对分类讨论；

（3）这类证明题一般要利用上面所证函数的结论，由（2）知当时， 恒成立，分别取为可得，相加同时取即证．

试题解析：

（），∴， ，∴当时， ，当时， ，

∴单调增区间为，减区间为．

（），∴为偶函数，

∴对恒成立，等价于，对恒成立，

∴，解得，

当时， ，在时成立，

∴在上为增函数，∴，符合题意，

当时， ，∴时， ， 减，

时， ， 增，

∴，∴，综上．

（）证明：由（）可知，当时， 恒成立，即恒成立，

，

当时， ，得证．