Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦点F引圆x²+y²=a²的切线，切点为A，延长FA交双曲线右支于点P，若A为线段PF靠近F的三等分点，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  13

  3

• C、

  5

• D、

  13

  2

Answer 1

分析：设出点A，和P的坐标，求出所用向量的坐标，利用

OA

•

FA

=0结合点A在圆上求出A的坐标，利用

FP

=3

FA

把P的坐标用A的坐标表示，代入双曲线方程后整理运算即可得到答案．

解答：解：如图，
F（-c，0），设A（x₀，y₀），P（x₁，y₁）．
则

OA

=(x0，y0)，

FA

=(x0+c，y0)，

FP

=(x1+c，y1)．
由

OA

•

FA

=0，得x02+cx0+y02=0，即cx0+a2=0．
∴x0=-

a2

c

，y02=a2-x02=a2-

a4

c2

=

a2b2

c2

．
又A为线段PF靠近F的三等分点，
∴

FP

=3

FA

，∴

x1+c=3x0+3c y1=3y0

，即

x1=3x0+2c y1=3y0

．
代入

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)得，

(3x0+2c)2

a2

-

9y02

b2

=1①
把x₀，y₀代入①得，

(2c- 3a2 c )2

a2

-

9• a2b2 c2

b2

=1，
整理得，4c²=13a²，解得e=

13

2

．
故选D．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了直线与圆的位置关系，训练了利用数量积解题，考查了学生的计算能力，是中档题．