Question

_21.我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，.

如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点.

（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点.求证：当取得最小值时，在点或处；

（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标.

Answer 1

解：（1） ，

，

于是，

所求“果圆”方程为，. 

（2）设，则

，

， 的最小值只能在或处取到.

即当取得最小值时，在点或处.                   

（3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可.             

.

当，即时，的最小值在时取到，

此时的横坐标是.                                       

当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是.                               

综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或.