Question

【题目】如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）若在边上，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意，利用三角形中位线定理可证MN∥BC，即可判定MN∥平面；（2）利用线面垂直的性质可证CC1⊥AD，结合已知可证AD⊥平面，从而证明AD⊥BC，结合（1）知，MN∥BC，即可证明MN⊥AD

试题解析：（1）如图，连结A1C．

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．

又因为N为线段AC1的中点，

所以A1C与AC1相交于点N，

即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点． ……………… 2分

因为M为线段A1B的中点，

所以MN∥BC． ……………… 4分

又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C． ………………… 6分

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又AD平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分

因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分

又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分

又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分