Question

设{a_n}是正数数列，其前n项和S_n满足S_n=

1

4

（a_n-1）（a_n+3）．
（1）求a₁的值；
（3）求数列{a_n}的通项公式；
（5）对于数列{b_n}，T_n为数列{b_n}的前n项和，令b_n=

1

sn

，试求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入递推公式sn=

1

4

(an-1)（a_n+3）可求a₁的值
（2）由Sn=

1

4

(an+1)(an+3)，可得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)(n≥2)
两式相减结合a_n＞0的条件整理可得a_n-a_n-1=2，从而利用等差数列的通项公式求出a_n
（3）由（2）中求出S_n，代入求b_n=

1

n(n+2)

，利用裂项求和求出T_n

解答：解：（1）由a₁=S₁=

1

4

(a1-1)(a1+3)，及a_n＞0，得a₁=3

（2）由Sn=

1

4

(an-1)(an+3)
得Sn-1=

1

4

(an-1-1)(an-1+3)．∴当n≥2时，
an=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+2(an-an-1)
∴2（a_n+a_n-1）=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=2，
∴由（1）知，{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴a_n=2n+1．

（3）由（2）知S_n=n（n+2）∴bn=

1

Sn

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

++

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]
=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

点评：本题主要考查由和s_n求a_n，运用公式an=

S1 n=1 Sn-Sn-1 n≥2

可转化得数列项之间的递推关系；在数列的求和方法中裂项求和一直是考查的热点和重点之一，在运用裂项时，两项相错k时，裂项后乘

1

k

．