Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．

（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求A到平面PBC的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设BD与AC 的交点为O，连结EO，

∵ABCD是矩形，

∴O为BD的中点

∵E为PD的中点，

∴EO∥PB．

EO平面AEC，PB平面AEC

∴PB∥平面AEC；

（2）解：∵AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，

∴V= = ，

∴AB= ，PB= = ．

作AH⊥PB交PB于H，

由题意可知BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AH，

故AH⊥平面PBC．

又在三角形PAB中，由射影定理可得：

A到平面PBC的距离 ．

【解析】（1）设BD与AC 的交点为O，连结EO，通过直线与平面平行的判定定理证明PB∥平面AEC；（2）通过AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，说明AH就是A到平面PBC的距离．通过解三角形求解即可．