Question

已知α为锐角，且，函数，数列{a_n}的首项．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求证：a_n+1＞a_n；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；
（2）a_n+1=f（a_n），把a_n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a_n²大于0，即可得证；
（3）把a_n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2-，根据题意分别求出a₂和a₃的值，根据（2）所证明的结论即可得证．
解答：解：（1），
又∵α为锐角，所以2α=，
∴，
则f（x）=x²+x；
（2）∵a_n+1=f（a_n）=a_n²+a_n，
∴a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴a_n+1＞a_n；
（3）∵，且a₁=，
∴，
则
=，
∵，，
又n≥2时，∴a_n+1＞a_n，
∴a_n+1≥a₃＞1，
∴，
∴．
点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．