Question

【题目】如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）在线段上存在一点满足题意，且

【解析】

(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值；

(3)假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置.

（1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接，

在中，分别为的中点，所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.

则，所以.

设平面的法向量为，

则即解得

令，得

所以平面的一个法向量为.

设平面的法向量为，

，据此可得 ，

则平面的一个法向量为，

，于是.

故二面角的正弦值为.

（3）设存在点满足条件.

由，

设，整理得，

则.

因为直线与平面所成角的大小为，

所以

解得，

由知，即点与重合.

故在线段上存在一点，且.