Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₁=1,S_n+1=2S_n+n+1(n∈N^*),则数列{a_n}的通项公式a_n=　　　.

Answer 1

2ⁿ-1

∵S_n+1=2S_n+n+1,当n≥2时S_n=2S_n-1+n,
两式相减得:a_n+1=2a_n+1,
∴a_n+1+1=2(a_n+1),
即=2.
又S₂=2S₁+1+1,a₁=S₁=1,
∴a₂=3,∴=2,
∴{a_n+1}是首项为2,公比为2的等比数列,
∴a_n+1=2ⁿ即a_n=2ⁿ-1(n∈N^*).
【方法技巧】含S_n,a_n问题的求解策略
当已知含有S_n+1,S_n之间的等式时,或者含有S_n,a_n的混合关系的等式时,可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.