Question

如图，点A，B是单位圆O上的两点，点C是圆O与x轴正半轴的交点，将锐角α的终边OA按逆时针方向旋转

π

3

到OB．
（Ⅰ）若A的坐标为（

3

5

，

4

5

），求点B的横坐标；
（Ⅱ）若△ABC的面积为

3

4

，求角α的大小．

Answer 1

考点：弧度制的应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）通过A的坐标为（

3

5

，

4

5

），利用两角和与差的三角函数直接求点B的横坐标cos（α+

π

3

）；
（Ⅱ）利用△ABC的面积为

3

4

，推出S_△ABC=S_△OAB+S_△xOA-S_△XOB，通过解三角方程即可求角α的大小．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知∠xOA=α，A的坐标为（

3

5

，

4

5

），即cosα=

3

5

，sinα=

4

5

，
锐角α的终边OA按逆时针方向旋转

π

3

到OB．
∴点B的横坐标为cos（α+

π

3

）=cosαcos

π

3

-sinαsin

π

3

=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为

3

4

，∴S_△ABC=S_△OAB+S_△xOA-S_△XOB，
即：

3

4

=

1

2

sin

π

3

+

1

2

sinα-

1

2

sin(α+

π

3

)，
∴sinα=sin(α+

π

3

)，
∵α是锐角，
∴角α的大小为：

π

3

．

点评：本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．