Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

1

2

，焦点到其相应准线的距离是3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，使得|AM|•|AN|=

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7

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率为

1

2

得

c

a

=

1

2

，由焦点到其相应准线的距离是3，得

a2

c

-c=3，再由a²=c²+b²，联立可解得a，b的值；
（Ⅱ）可设直线l的方程为y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），与椭圆方程联立消掉y得x的二次方程，则△＞0，可得k的取值范围，利用韦达定理及弦长公式可用k表示出|AM|•|AN|，根据|AM|•|AN|=

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7

可得k的方程，解出k后代入直线方程即可，注意检验所求k值是否符合其范围；

解答：解：（Ⅰ）由题意得

c

a

=

1

2

，

a2

c

-c=3，联立a²=c²+b²，解得 a=2，c=1，b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l，
易知直线l斜率存在，设直线l：y=k（x-4），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
与椭圆方程联立得，（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，
∴△=（32k²）²-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得-

1

2

＜k＜

1

2

，
且x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
又|AM|•|AN|=

1+k2

|x1-4|•

1+k2

|x2-4|=（k²+1）（4-x₁）（4-x₂）
=（k²+1）[x₁x₂-4（x₁+x₂）+16]=(k2+1)(

64k2-12

3+4k2

-4×

32k2

3+4k2

+16)
=(k2+1)•

36

3+4k2

，
∴(k2+1)•

36

3+4k2

=

81

7

，解得k=±

2

4

，满足-

1

2

＜k＜

1

2

，
∴存在满足条件的直线l，直线l的方程为y=±

2

4

（x-4）．

点评：本题考查椭圆的标准方程、简单性质及直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力，弦长公式、韦达定理，判别式等知识经常用到，要熟练掌握．