Question

在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又侧棱PA⊥底面ABCD.

(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC?试证明你的结论.

(2)当a=4时,求证:BC边上存在一点M,使得PM⊥DM.

(3)若在BC边上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.

Answer 1

思路分析:本题第(1)问是寻求BD⊥平面PAC的条件,即BD垂直于平面PAC内两相交直线,易知BD⊥PA,问题归结为a为何值时,BD⊥AC,从而知ABCD为正方形.

(1)解：当a=2时,ABCD为正方形,则BD⊥AC.

    又∵PA⊥底面ABCD,BD平面ABCD,

    ∴BD⊥PA.

    ∴BD⊥平面PAC.

    故当a=2时,BD⊥平面PAC.

(2)证明:当a=4时,取BC边的中点M,AD边的中点N,连结AM、DM、MN.

    ∵ABMN和DCMN都是正方形,∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°,即DM⊥AM.又PA⊥底面ABCD,由三垂线定理,得PM⊥DM,故当a=4时,BC边的中点M使PM⊥DM.

(3)解:设M是BC边上符合题设的点M,

    ∵PA⊥底面ABCD,

    ∴DM⊥AM.

    因此,M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点,则AD≥2AB,即a≥4为所求.

讲评:本题的解决中充分运用了平面几何的相关知识.因此,立体几何解题中,要注意有关的平面几何知识的运用.事实上,立体几何问题最终是在一个或几个平面中得以解决的.