Question

已知直角三角形ABC的三边a，b，c成公差为正数的等差数列，且a=6．
（1）求三角形ABC的三边长；
（2）设P是三角形ABC（含边界）内一点，点P到三角形边AB，BC，AC的距离为d₁，d₂，d₃，求d₁+d₂+d₃的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设出三角形的三边的长，利用勾股定理，建立方程，即可求得三角形ABC的三边长；
（2）用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离，表示出d₁+d₂+d₃，利用线性规划的思想方法求出范围即可．

解答：解：（1）设公差为d，则三边长分别为6，6+d，6+2d
∵△ABC是直角三角形
∴6²+（6+d）²=（6+2d）²，
∴d²+4d-12=0
∵d＞0，∴d=2
∴△ABC的三边长分别为6，8，10；
（2）以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，
则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y-12=0．
设P点坐标为（x，y），则由P到三边AB、BC、AB的距离为d₁，d₂和d₃，可知d1+d2+d3=x+y+

|4x+3y-12|

5

，且

x≥0 y≥0 4x+3y-12≤0

，故d1+d2+d3=

x+2y+12

5

．
令m=x+2y，由线性规划知识可知，如图：

当直线分别经过点A、O时，m取得最大、最小值，故0≤m≤8，故d₁+d₂+d₃的取值范围是[

12

5

，4]．

点评：本题考查等差数列，考查利用线性规划知识求范围，考查学生转化的能力，属于中档题．