Question

设x=3是函数f（x）=（x²+ax+b）e^3-x（x∈R）的一个极值点，
（Ⅰ）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0，g（x）=（a²+）e^x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得|f（ξ₁）-f（ξ₂）＜1|成立，求a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′(x)=-[x²+(a-2)x+b-a]e^3-x，
由f′(3)=0，得-[3²+(a-2)3+b-a]e^3-3=0，即得b=-3-2a，
则f′(x)=[x²+(a-2)x-3-2a-a]e^3-x=-[x²+(a-2)x-3-3a]e^3-x=-(x-3)(x+a+1)e^3-x，
令f′(x)=0，得x₁=3或x₂=-a-1，
由于x=3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a≠-4，
当a＜-4时，x₂＞3=x₁，
则在区间（-∞，3）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
在区间（3，-a-1）上，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
在区间（-a-1，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当a＞-4时，x₂＜3=x₁，则在区间（-∞，-a-1）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
在区间（-a-1，3）上，f′(x)＞0，f(x)为增函数；
在区间（3，+∞）上，f′(x)＜0，f(x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＞0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，
而f(0)=-（2a+3）e³＜0，f(4)=（2a+13）e^-1＞0，f (3)=a+6，
那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[-（2a+3）e³，a+6]，
又在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是[a²+，（a²+）e⁴]，
由于（a²+）-（a+6）=a²-a+=（）²≥0，
所以只须仅须（a²+）-（a+6）＜1且a＞0，解得0＜a＜，
故a的取值范围是（0，）。