Question

已知等差数列{a_n}中的两项a₂，a₂₀₁₄是函数f（x）=

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x³-3x²+ax（a为常数）的极值点，且a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0，则使{a_n}的前n项和S_n取得最大值的n为（　　）

• A、1008
• B、1009
• C、1008，1009
• D、2014

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,等差数列的性质

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：由极值点得方程f'（x）=0的两个实根，利用韦达定理得a₂+a₂₀₁₄的值，再由等差中项的性质得a₁₀₀₈的值，结合条件a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0进一步可探求项的正负，从而找到使S_n取得最大值的项．

解答：解：由f（x）得f'（x）=x²-6x+a，
∵a₂，a₂₀₁₄是函数f（x）=

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x³-3x²+ax的极值点，
∴a₂，a₂₀₁₄是方程f'（x）=0的两个实根，
根据韦达定理，有a₂+a₂₀₁₄=6，
由等差中项的性质得a₂+a₂₀₁₄=2a₁₀₀₈=6，即a₁₀₀₈=3＞0，
∵a₁₀₀₈+a₁₀₀₉＜0，∴a₁₀₀₉＜0，
∴等差数列{a_n}为递减数列，且使{a_n}的前n项和S_n取得最大值的n为1008．
故选A．

点评：1．对于可导函数f（x），若x=x₀是f（x）的极值点，则必有f'（x₀）=0；若存在x₀，使得f'（x₀）=0，则x=x₀不一定是f（x）的极值点．
2．求等差数列{a_n}的前n项和S_n取得最大值的n，应考虑以下两个方面的问题：
（1）数列是递增数列还是递减数列（以递减数列居多）；
（2）数列中哪些项为正数项、负数项，是否存在某项为0的情况．