Question

（2012•湘潭三模）若{a_n}满足a₁=1，a_n+a_n+1=(

1

4

)n（n∈N^*），设S_n=a₁+4a₂+4²a₃+…+4^n-1a_n则5S2-42a2=

2

；类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S_n-4ⁿa_n=

n

．

Answer 1

分析：先对S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表达式．

解答：解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×

1

4

+4²•（

1

4

）²+…+4 ^n-1•（

1

4

）^n-1+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
则5S2-42a2=2；
故答案为2； n

点评：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，是一道比较新颖的好题目，关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式的方法的理解和掌握．