Question

【题目】已知函数f（x）=x3﹣3x2 ． （Ⅰ） 求f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 若f（x）的定义域为[﹣1，m]时，值域为[﹣4，0]，求m的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），

令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，

故f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；

（Ⅱ）由（Ⅰ）f（﹣1）=﹣4，

故f（m）=m3﹣3m2≤0，解得：m≤3，

故m的最大值是3

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为f（m）≤0，求出m的最大值即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．