Question

设a、b∈R⁺且a+b=3，求证

1+a

+

1+b

≤

10

．

Answer 1

分析：证法一综合法是从已知出发，经过逐步推理，最后导出所要达到的结论；
证法二运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件．分析法执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件，从而使问题得证．

解答：证明：证法一：（综合法）
∵(

1+a

+

1+b

)2=2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤5+(1+a+1+b)=10
∴

1+a

+

1+b

≤

10

证法二：（分析法）∵a、b∈R⁺且a+b=3，
∴欲证

1+a

+

1+b

≤

10

只需证(

1+a

+

1+b

)2≤10
即证2+a+b+2

(1+a)•(1+b)

≤10即证2

(1+a)•(1+b)

≤5
只需证4（1+a）•（1+b）≤25只需证4（1+a）•（1+b）≤25
即证4（1+a+b+ab）≤25只需证4ab≤9即证ab≤

9

4

∵ab≤(

a+b

2

)2=(

3

2

)2=

9

4

成立∴

1+a

+

1+b

≤

10

成立

点评：运用分析的解题方法，执果索因、逆向思考问题，在分析过程中去寻觅结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），由欲知确定需知，求需知利用已知，适时采用由结论到条件的分析方法逆向训练，有利于养成双向考虑问题的良好习惯．