Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，
（1）求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小；（2）求证：平面MND⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AD，我们易得到CD⊥AD，且CD⊥PD，故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角，解三角形PAD，即可求出∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角的大小．
（2）取PD的中点E，连接AE，EN，由三角形中位线定理结合已知中M、N分别是AB、PC的中点，我们易证明AE∥MN，结合（1）的结论和等腰三角形性质，根据线面垂直及面面垂直的判定定理，我们可以得到平面MND⊥平面PCD．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD?PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD，
又∵PD?平面PAD，
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角，
又∵在直角三角形PAD中，PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
（2）证明：取PD的中点E，连接AE，EN，如下图所示

则EN∥CD∥AM，且EN=

1

2

CD=AM
∴四边形AMNE为平行四边形，故AE∥MN…①
由（I）中CD⊥平面PAD，得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形，
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得：MN⊥平面PCD
又∵MN?平面MND
∴平面MND⊥平面PCD．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，求二面角关键问题是要找到二面角的平面角，而证明面面垂直关系是要熟练掌握面面垂直的判定定理及证明步骤．