Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （a﹣ccosB）=bsinC．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，则当a，b分别取何值时，△ABC的面积取得最大值，并求出其最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ （a﹣ccosB）=bsinC，由正弦定理可得： （sinA﹣sinCcosB）=sinBsinC，

化为： [sin（B+C）﹣sinCcosB]= sinBcosC=sinBsinC，

∵sinB≠0，

∴tanC= ，

∵C∈（0，π），

∴C= ．

（2）解：c=2，C= ，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos ，

∴4≥2ab﹣ab=ab＞0，当且仅当a=b=2时取等号．

又S△ABC= sin = ab≤ ，当且仅当a=b=2时取等号

【解析】（1） （a﹣ccosB）=bsinC，由正弦定理可得： （sinA﹣sinCcosB）=sinBsinC，由sinB≠0，展开可得tanC= ，即可得出．（2）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcos ，再利用基本不等式的性质可得：4≥ab＞0，S△ABC= sin = ab即可得出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．