Question

如图所示的两个同心圆盘均被等分（且），在相重叠的扇形格中依次同时填上，内圆盘可绕圆心旋转，每次可旋转一个扇形格，当内圆盘旋转到某一位置时，定义所有重叠扇形格中两数之积的和为此位置的“旋转和”.
（1）求个不同位置的“旋转和”的和；
（2）当为偶数时，求个不同位置的“旋转和”的最小值；
（3）设，在如图所示的初始位置将任意对重叠的扇形格中的两数均改写为0，证明：当时，通过旋转，总存在一个位置，任意重叠的扇形格中两数不同时为0.

Answer 1

（1）；（2） 最小值；（3）详见解析.

试题分析：（1）个不同位置的“旋转和”的和，就是将所有位置的旋转相加，故内盘中的任一数都会和外盘中的每个数作积；（2）设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为；设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为；依次下去，设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为；这样便得一个数列.这样问题转化为求该数列的最小值.求数列的最值，首先研究数列的单调性，而研究数列的单调性，就是研究相邻两项的差的符号，即研究的符号；（3）显然直接证明有点困难，故采用反证法.由于该问题只涉及0与非0的问题，故可将图中所有非数改写为，这样共有个0，个1.假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为，则此位置的“旋转和”必大于或等于，初始位置外的个位置的“旋转和”的和为，则有，即，这与矛盾，故命题得证．
试题解析：（1）由于内盘中的任一数都会和外盘中的每个作积，故个不同位置的“旋转和”的和为

；     3分
（2）设内盘中的和外盘中的同扇形格时的“旋转和”为
则


            5分
所以当时，，当时，，所以时，最小
最小值
；        8分
（3）证明：将图中所有非数改写为，现假设任意位置，总存在一个重叠的扇形格中两数同时为，则此位置的“旋转和”必大于或等于，初始位置外的个位置的“旋转和”的和为
，则有，即，这与矛盾，故命题得证．    12分