Question

某工厂要制造Ⅰ型高科技装置45台，Ⅱ型高科技装置55台，需用薄合金钢板给每台装置配一个外壳．已知薄板的面积有两种规格：甲种薄板每张面积2 m²，可做Ⅰ、Ⅱ的外壳分别为3个和5个；乙种薄板每张面积3 m²，可做Ⅰ、Ⅱ的外壳各6个，求两种薄板各用多少张，才能使总的用料面积最小？

根据条件首先设两种薄板的张数为变元，根据条件建立变元对应的不等式组，画出可行域求出最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：依题意设用甲种薄板x张，乙种薄板y张，则可做Ⅰ型产品外壳(3x＋6y)个，Ⅱ型产品外壳(5x＋6y)个，依题意得 　　(1) 　　所用薄板总面积是P＝2x＋3y． 　　不等式组(1)的解集的图象是如图所示，包括边界的区域G(图中的阴影部分)，其中l1：3x＋6y＝45与x轴的交点B的坐标为(15，0)，l2：5x＋6y＝55与y轴的交点A的坐标为(0，)． 　　联立方程组得交点C的坐标为(5，5)． 　　因为函数P在区域G上的最小值在区域边界的顶点上取得，将顶点A、B、C的坐标分别代入P＝2x＋3y，得PA＝2×0＋3×＝，PB＝2×15＋3×0＝30，PC＝2×5＋3×5＝25． 　　所以，P在C点取得最小值．因此，用甲、乙两种薄板各5张，既能保证制造Ⅰ、Ⅱ两种外壳的用料量，又使用料总面积最小．