Question

【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米． （Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1 ， 池壁面积为S2 ， 则有 （平方米）
池底长方形宽为 米，则S2=8x+8× =8（x+ ）．
（Ⅱ）设总造价为y，则
y=120×1 600+100×8（x+ ）≥192000+64000=256000．
当且仅当x= ，即x=40时取等号．
所以x=40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
【解析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1 ， 池壁面积为S2 ， 由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案