Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=1，D是BC的中点，点P在平面BCC₁B₁内，PB₁=PC₁=

2

（Ⅰ）求证：PA₁⊥BC；
（Ⅱ）求证：PB₁∥平面AC₁D．

Answer 1

分析：对于（1），连接PD交B₁C₁于H，连接BH，容易证明BC⊥AD，而BC⊥AA₁已知，则BC⊥平面ADPA₁．从而得到BC⊥PA₁；
对于（2），要证PB₁∥平面AC₁D，只需证明PB₁平行于平面AC₁D内的一条直线即可，连接BH，而容易证明BH∥C₁D，只需证明PB₁∥BH即可，而PH与PB₁平行且相等，问题得证．

解答：证明：（1）连接PD交B₁C₁于H，
∵PB₁=PC₁，∴H为B₁C₁中点，
又∵D是BC的中点，∴PD∥CC₁，
∴A、A₁、P、D四点共面；
∵BC⊥AD，BC⊥AA₁，AD∩AA₁=A，
∴BC⊥平面ADPA₁．
∵PA₁?平面ADPA₁．
∴BC⊥PA₁．
（2）连接BH，∵PH∥BB₁，且∵PH=BB₁，
∴四边形B₁PHB为平行四边形．
∴PB₁∥BH．而BH∥C₁D
∴PB₁∥DC₁．
又∵PB₁?平面AC₁D，C₁D?平面AC₁D．
∴PB₁∥平面AC₁D．

点评：本题考查直线与直线垂直的判定，直线与平面平行的判定，要注意转化思想的应用，即将线线垂直转化为线面垂直，将线面平行转化为线线平行进行．