分析 由已知结合数列递推式求首项,再由数列递推式得当n≥2时,有2Sn-1=(n-1)an-1+2,与原数列递推式作差可得(n-2)an=(n-1)an-1,进一步得到当n≥3时,有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$,然后利用累积法求得an的通项公式.
解答 解:由2Sn=nan+2,得2S2=2(a1+a2)=2a2+2,解得a1=1;
当n≥2时,有2Sn-1=(n-1)an-1+2,
两式作差可得:2an=nan-(n-1)an-1 (n≥2),
即(n-2)an=(n-1)an-1,
∴当n≥3时,有$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$,
∴$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$,$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{3}{2}$,$\frac{{a}_{5}}{{a}_{4}}=\frac{4}{3}$,…,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$,
以上n-2个式相乘得,$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1,
∴an=2n-2,
当n=2时a2=2符合上式,
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{1,n=1}\\{2n-2,n≥2}\end{array}\right.$.
点评 本题考查数列递推式,考查了累积法求数列的通项公式,是中档题.
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A. | $({-\frac{π}{6},0})∪({0,\frac{π}{6}})$ | B. | $({-\frac{π}{6},0})∪({\frac{π}{6},π})$ | C. | $({-\frac{π}{6},0})∪({\frac{π}{6},\frac{π}{2}})$ | D. | $({-π,-\frac{π}{6}})∪({0,\frac{π}{6}})$ |
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