【题目】设函数, 为曲线在点处的切线.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)当时,证明:除切点之外,曲线在直线的下方.
(Ⅲ)设, , ,且满足,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求导,再求的值,根据导数的几何意义可知切线的斜率即为.由点斜式可得直线方程.(Ⅱ)即证明, 恒成立.变形可得即证恒成立即可.令求导,讨论导数的正负,根据导数的正负可得函数的单调性.根据单调性可求其最值,其最大值小于0即可.(Ⅲ)当且时由(Ⅱ)可知.当中至少有一个大于等于时,可用配方法求各自值域再相加.
试题解析:解:(Ⅰ) .
所以.
所以 L的方程为,即. 3分
(Ⅱ)要证除切点之外,曲线C在直线L的下方,只需证明, 恒成立.
因为,
所以只需证明, 恒成立即可. 5分
设
则.
令,解得, . 6分
当在上变化时, 的变化情况如下表
所以, 恒成立. 8分
(Ⅲ)(ⅰ)当且时,
由(Ⅱ)可知: ,
, .
三式相加,得.
因为,
所以,且当时取等号. 11分
(ⅱ)当中至少有一个大于等于时,
不妨设,则,
因为, ,
所以.
综上所述,当时取到最大值. 14分
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【题目】现有六支足球队参加单循环比赛(即任意两支球队只踢一场比赛),第一周的比赛中,各踢了场, 各踢了场, 踢了场,且队与队未踢过, 队与队也未踢过,则在第一周的比赛中, 队踢的比赛的场数是( )
A. B. C. D.
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【题目】已知双曲线的渐近线方程是,右焦点,则双曲线的方程为_________,又若点, 是双曲线的左支上一点,则周长的最小值为__________.
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【题目】[2018·赣中联考]李冶(1192-1279),真实栾城(今属河北石家庄市)人,金元时期的数学家、诗人,晚年在封龙山隐居讲学,数学著作多部,其中《益古演段》主要研究平面图形问题:求圆的直径、正方形的边长等.其中一问:现有正方形方田一块,内部有一个圆形水池,其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩,若方田的四边到水池的最近距离均为二十步,则圆池直径和方田的边长分别是(注:240平方步为1亩,圆周率按3近似计算)( )
A. 10步,50步 B. 20步,60步 C. 30步,70步 D. 40步,80步
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【题目】已知函数, (为常数).
(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;
(2)若,且,证明: ;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】下列各组函数中,表示同一个函数的是( ).
A.y=x+1和y=B.y=x0和y=C.f(x)=(x-1)2和g(x)=(x+1)2D.f(x)=和g(x)=
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