Question

【题目】如图所示，是正三角形，线段和都垂直于平面，设，，且为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求平面与平面所成的较小二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见证明（2）见证明

【解析】

（1）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；（3）延长ED交AC延长线于G′，连BG′，只要证明BG′⊥平面ABE即可得到∠ABE为所求的平面BDE与平面ABC所成二面角，在等腰直角三角形ABE中即可得到．

（1）如图所示，取的中点，连接、.

∵，，

∴.

又，

∴.

∴四边形为平行四边形．

故.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）∵平面，∴.

又是正三角形，∴.

∴平面.

又∵，∴平面.

∴平面平面.

∵，，∴.

∴平面，∴.

（3）延长交的延长线于，连.

由，知，为的中点，

又为的中点，

∴.

又平面，，

∴平面.

∴为所求二面角的平面角．

在等腰直角三角形中，易求.

故所求二面角的大小为.