Question

（2012•上饶一模）已知函数f（x）=2x+1，g（x）=x，x∈R，数列{a_n}，{b_n}满足条件：a1=1，an=f(bn)=g(bn+1)，n∈N*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令Cn=

2n

anan+1

，Tn是数列{C_n}的前n项和，求使Tn＞

2011

2012

成立的最小的n值．

Answer 1

分析：（1）由题意得2b_n+1=b_n+1，两边同加1，可得数列{b_n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）确定数列{C_n}的通项，利用裂项法求数列的和，利用Tn＞

2011

2012

，即可求得最小的n值．

解答：解：（1）由题意得2b_n+1=b_n+1，∴b_n+1+1=2b_n+2=2（b_n+1）…（2分）
又∵a₁=2b₁+1=1，∴b₁=0，b₁+1=1≠0…（3分）
故数列{b_n+1}是以1为首项，2为公比的等比数列…（4分）
∴bn+1=2n-1，
∴bn=2n-1-1，an=2bn+1=2n-1…（6分）
（2）由（1）可知 an=2n-1，an+1=2n+1-1，
故Cn=

2n

(2n-1)(2n+1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

…（8分）
∴Tn=C1+C2+…+Cn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)=1-

1

2n+1-1

…（10分）
由Tn＞

2011

2012

，得2ⁿ⁺¹＞2013，解得n≥10．
∴满足条件的n的最小值为10．…（12分）

点评：本题考查数列与函数的关系，考查数列递推式，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键．