Question

【题目】如图，四棱锥中，侧面底面， ， ， , ， ，点在棱上，且，点在棱上，且平面.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】试题分析：连接交于点，根据三角形相识，可得， ，由勾股定理可得是直角三角形，进而得，再由面面垂直判定定理可得结论；（2）以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）如图连接交于点，因为平面，所以，由，所以，又，所以，

所以， ，

又因为，所以是直角三角形，

又，所以，

又因为侧面底面，所以平面.

（2）因为， ，所以，有，如图，以， ， 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，

则， ， ，

，所以，

所以 ，

设平面的法向量为，

则，

，令，则，所以，

又因为平面的法向量，

所以，

即所求二面角的余弦值是.