Question

【题目】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，点M（a，0），N（0，b），O（0，0），且△OMN的面积为1．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设A，B是x轴上不同的两点，点A（异于坐标原点）在椭圆C内，点B在椭圆C外．若过点B作斜率不为0的直线与C相交于P，Q两点，且满足∠PAB+∠QAB＝180°．证明：点A，B的横坐标之积为定值．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）见解析

【解析】

（1）由题意离心率的值及三角形OMN的面积和a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；

（2）作点P关于x轴的对称点，由椭圆的对称性可知∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，所以，A，Q三点共线，设Q，A，B的坐标，设直线Q的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，因为∠QBA＝∠BA，所以，求出两条直线的斜率，求出A，B的乘积为定值．

解：（1）由题意可得：，解得：a2＝4，b2＝1，

所以椭圆C的标准方程：y2＝1；

（2）证明：作点P关于x轴的对称点，由椭圆的对称性可知，

点在椭圆上，且∠PAB＝∠AB，∠QBA＝∠BA，

因为∠PAB+∠QAB＝180°．所以∠AB+∠QAB＝180°，

所以，A，Q三点共线，

由题意可知直线Q不与x轴平行或重合，设直线Q的方程为：x＝ty+m，（mt≠0），

设，

联立直线与椭圆的方程：，消x可得，

则有y1+y2，y1y2，

因为∠QBA＝∠BA，所以，即，

所以，

即

即，

解得，

因为，所以，

故点A，B横坐标之积为定值4．