Question

【题目】如图，在四棱锥中，底而为正方形，底面，，点为棱的中点，点，分别为棱，上的动点（，与所在棱的端点不重合），且满足.

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连结交于连结，则,面，,而，面，易证，则面，可得平面平面.解法二：通过建立空间直角坐标系，找出平面平面的法向量，通过法向量互相垂直来证明.

（2）通过建立空间直角坐标系，找到两个平面法向量之间的夹角余弦，从而得到二面角的余弦值.

（1）【解法一】：（综合法）

证明：连接交于，连接.

因为底面为正方形，所以，，

又因为，所以.

由底面知，底面，

又底面，所以；

又；平面，所以平面.

在中，因为，，所以，即，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

【解法二】

（向量法）

因为底面，，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则

，，，.设，则.

，，，.

设为平面的一个法向量，则

即可取.

设为平面的一个法向量，则

即可取.

因为，所以.

所以平面平面.

（2）解：设，

由题意知，，又，

所以.

易知当三棱锥的体积最大时，，即此时，分别为棱，的中点.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，.

，，.

设是平面的法向量，则

即可取.

设是平面的法向量，则

即可取.

则.

由图知所求二面角为钝二面角，所以二面角的余弦值为.