Question

【题目】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由，得，解得；（2）由在上单调递减.可得函数在区间上的最大值与最小值分别为，等价于，对任意成立，只需令函数在区间的最小值不小于零，解不等式即可.

试题解析：（1）由，得，解得.

（2）当时，，

所以在上单调递减.

函数在区间上的最大值与最小值分别为.

即，对任意成立.

因为，所以函数在区间上单调递增，

时，有最小值，由，得，故的取值范围为.

【方法点晴】本题主要考查函数的单调性、简单的指数方程以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题（2）是利用方法③ 求得的取值范围的.