Question

【题目】如图，在四棱锥中， 底面， ， ∥， ， ．

（1）求证：平面 平面;

（2）若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）由∥，推出，再根据平面，推出，从而可证平面 平面；（2）根据题设条件建立以为坐标原点，以， ， 所在射线分别为轴的空间直角坐标系，设，由得出，分别求出平面与平面的一个法向量，再根据二面角的余弦值为，即可求得，从而可得与平面所成角的正弦值．

试题解析：（1）证明： ∥

平面, 平面

平面

平面

平面 平面

（2）解: 以为坐标原点，以， ， 所在射线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示，则,由点C向AB作垂线CH, 则,

∴

∴

设.

∵在棱上，

∴（）

∴

设平面的法向量,

∴, ，取，则，则.

设平面的法向量,

∴， ，取则.

∴

∴， ，解得.

∴，

易知平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值.