Question

如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，OE=1，EF=

3

，设∠AOE=α．
（1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f（α）；
（2）写出函数f（α）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据OE=1，EF=

3

，可得∠EOF=60°．由于A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，∠AOE=α，故要进行分类讨论：当α∈[0，

π

12

]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上；当a∈(

π

12

，

π

4

]时，A点在EF上，B点在FG上，从而可求相应的面积f（α），进而得出结论；
（2）由（1）分类求函数的值域：当α∈[0，

π

12

]时，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]；当α∈(

π

12

，

π

4

]时，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．故可得结论．

解答：解：（1）∵OE=1，EF=

3

．
∴∠EOF=60°．
当α∈[0，

π

12

]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，
且AE=tanα，BE=tan（45°+α）．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

[tan（45°+α）-tanα]
=

sin45°

2cosα•cos(45°+α)

=

2

2cos(2α+45°)+ 2

．
当a∈(

π

12

，

π

4

]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA=

1

cosα

，OB=

3

cos(45°-α)

．
∴f（α）=S_△AOB=

1

2

OA•OB•sin45°=

1

2cosα

•

3

cos(45°-α)

•sin45°=

6

2cos( π 4 -2α)+ 2

综上得：f（α）=

2 2cos(2α+ π 4 )+ 2 α∈[0， π 12 ] 6 2cos(2α- π 4 )+ 2 α∈( π 12 ， π 4 ]

（2）由（1）得：当α∈[0，

π

12

]时，f（α）=

2

2cos(2α+ π 4 )+ 2

∈[

1

2

，

3

-1]．
且当α=0时，f（α）_min=

1

2

；α=

π

12

时，f（α）_max=

3

-1；
当α∈(

π

12

，

π

4

]时，-

π

12

≤2α-

π

4

≤

π

4

，f（α）=

6

2cos(2α- π 4 )+ 2

∈[

6

-

3

，

3

2

]．
且当α=

π

8

时，f（α） _min=

6

-

3

；当α=

π

4

时，f（α） _max=

3

2

．
所以f（α）∈[

1

2

，

3

2

]．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查三角函数，同时考查了三角函数的值域问题，综合性强，其中分类讨论是解题的关键．