Question

（本小题满分13分）已知中心在坐标原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M(2,1)

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线平行于，且与椭圆交于A、B两个不同点.

（ⅰ）若为钝角，求直线在轴上的截距m的取值范围；

（ⅱ）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）利用直线MA、MB的倾斜角互补，

证明直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）设椭圆方程为，

则 解得 

∴椭圆的方程为.             ………………………… 4分

（Ⅱ）（ⅰ）由直线平行于OM，得直线的斜率，

又在轴上的截距为m，所以的方程为. 

由 得.

又直线与椭圆交于A、B两个不同点，

，于是. ……………… 6分

为钝角等价于且，             

设，

，

由韦达定理，代入上式，

化简整理得，即，故所求范围是.

……………………………………………8分

（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为，.

由，.      ………………………………10分

而

. 

所以 , 故直线MA、MB的倾斜角互补，

故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．…………………… 13分

考点：本试题考查了椭圆的方程和直线与椭圆的位置关系。

点评：对于解决解析几何的方程问题，一般都是利用其性质得到a,b,c的关系式，然后求解得到，而对于直线与椭圆的位置关系，通常利用设而不求的数学思想，结合韦达定理，以及判别式来分析求解。尤其关注图形的特点与斜率和向量之间的关系转换，属于难度题。