Question

下面有五个命题
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是2π．
②终边在y轴上的角集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}．
③在同一坐标系中，函数y=sinx和函数y=x的图象有一个交点．
④函数y=

2sin2x+1

sin2x

，x∈(0，

π

2

)的最小值为

3

．
⑤y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象．
其中真命题的序号是

③④⑤

．

Answer 1

分析：利用三角函数的图象和性质分别进行判断即可．

解答：解：①y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）=-cos2x，所以周期T=

2π

2

=π，所以①错误．
②终边在y轴上的角集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}，所以②正确．
③设f（x）=sinx-x，则f'（x）=cosx-1≤0，所以函数f（x）在定义域上单调递减，因为f（0）=0，所以f（x）=sinx-x=0只有一个根，所以y=sinx和函数y=x的图象有一个交点，所以③周期．
④因为y=

2sin2x+1

sin2x

=

1-cos2x+1

sin2x

=

2-cos2x

sin2x

，所以ysin2x=2-cos2x，即ysin2x+cos2x=2，所以

1+y2

sin?(2x+θ)=2，θ为参数，即sin?(2x+θ)=

2

1+y2

≤1，
所以y≥

3

或y≤-

3

（舍去），所以④正确．
⑤将y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到，y=3sin?(2(x-

π

6

)+

π

3

)=3sin?2x，所以⑤正确．
故答案为：③④⑤

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的有关公式进行化简是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的三角变换公式．