Question

已知

m

=(cosx+

3

sinx，1)，

n

=(2cosx，-y)，满足

m

•

n

=0．
（1）将y表示为x的函数f（x），并求f（x）的单调递增区间；
（2）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若f(

A

2

)=3，且a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式及三角函数的恒等变换，根据

m

•

n

=0求得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1，令2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，求得x的范围，即可求出f（x）的单调递增区间．
（2）由f(

A

2

)=3求得A=

π

3

，在△ABC中由余弦定理和基本不等式可得bc≤4，再由S△ABC=

1

2

bcsinA求出它的最大值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=2cos2x+2

3

sinxcosx-y=

3

sin2x+cos2x+1-y=2sin(2x+

π

6

)+1-y=0，所以f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1．…（3分）
令2x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，得x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈Z)，故f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，(k∈Z)．…（6分）
（2）∵f(

A

2

)=2sin(A+

π

6

)+1=3，∴sin(A+

π

6

)=1，又A+

π

6

∈(

π

6

，

7π

6

)，∴A+

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

．…（8分）
在△ABC中由余弦定理有，a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=4≥2bc-bc=bc，
可知bc≤4（当且仅当b=c时取等号），∴S△ABC=

1

2

bcsinA≤

1

2

•4•

3

2

=

3

，
即△ABC面积的最大值为

3

．…（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．