Question

奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），值域为R，当且仅当x＞1时，f（x）＞0．
关于f（x）有如下命题：①f（-1）=0；②方程f（x）=0有无穷解；③f（x）有最小值，但无最大值；④f（x）的图象关于原点对称，且f（x）是周期函数．其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，分析易得当0＜x≤1时，有f（x）≤0，进而用分析f（x）＜0，可得与已知条件的矛盾，易得f（x）=0，即可得在区间（0，1]上，均有f（x）=0，又由奇函数的对称性可得其在区间[-1，0）上，也有均有f（x）=0，综合可得得当x∈[-1，0）∪（0，1]，均有f（x）=0；进而分析4个命题，易得①②正误，由函数最值的意义可得③的正误，由周期函数的定义可得④的正误；综合可得答案．
解答：解：根据题意，当且仅当x＞1时，f（x）＞0，当0＜x≤1时，有f（x）≤0，
若f（x）＜0，则在区间-1＜-x＜0上，有f（-x）=-f（x）＞0，与题意不符，故f（x）=0，即在区间（0，1]上，均有f（x）=0，
又由f（x）是奇函数，则在区间[-1，0）上，也有均有f（x）=0，
综合可得当x∈[-1，0）∪（0，1]，均有f（x）=0，
对于①f（-1）=0，正确；
对于②方程f（x）=0当x∈[-1，0）∪（0，1]均成立，则方程f（x）=0有无穷解，正确；
对于③由题意无法判断f（x）有最小值、最大值情况，错误；
对于④f（x）的图象关于原点对称，但f（x）不是周期函数，错误；
即命题①②正确；
故答案为①②．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键在于把握题干中“当且仅当x＞1时，f（x）＞0”这一条件，进而对x在其他范围进行分类讨论．