Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为（0，1），点P（0，m）（m≠0）．
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点P且斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点，点P关于原点的对称点Q，若m＜0，求使得△QAB面积最大的m的值；
（3）设过P点的直线交抛物线C于M、N两点，是否存在这样的点P，使得

1

|PM|

+

1

|PN|

为定值？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设抛物线C的方程是x²=ay，根据焦点为F的坐标求得a，进而可得抛物线的方程．
（2）y=x+m代入x²=4y，得x²-4x-4m=0，|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)，由此知当m=-

2

3

时，S_△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，代入方程，得x²-4kx-4m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，由此能够推导出m=1时，

1

|PM|

+

1

|PN|

为定值，存在点P（0，1）．

解答：解：（1）设抛物线C的方程是x²=ay，
则

a

4

=1，
即a=4．
故所求抛物线C的方程为x²=4y．
（2）y=x+m代入x²=4y，得
x²-4x-4m=0，
|AB|=

2

|x2-x1|  =4

2(1+m)

，
∴S△QAB=-4m

m+1

=4

m3+m2

(m＜0)

m	m＜- 2 3	- 2 3	- 2 3 ＜m＜0
3m2+2m	+	0	-

∴当m=-

2

3

时，S_△QAB有最大值．
（3）假设存在这样的点P，设直线MN的方程为y=kx+m，
代入方程，得x²-4kx-4m=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
△＞0，k²+m＞0，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
①当m＜0时，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

（

1

|x1|

+

1

|x2|

）=

|4k|

-4m 1+k2

不是定值．
②当m＞0时，

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

1+k2

|x1-x2|

|x1x2|

=

|x1-x2|

|x1x2|

=

m+k2

m 1+k2

，
在上式中，令k=0，1，得

m

= 

m+1 2

，m=1，
∴m=1时，

1

|PM|

+

1

|PN|

为定值，
存在点P（0，1）．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．