Question

甲、乙两地相距100Km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过50Km/h．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成； 可变部分与速度v（单位：Km/h）的平方成正比，且比例系数为4； 固定部分为a²元（a＞0）．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

Answer 1

分析：根据汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，建立函数关系式，再利用基本不等式及函数的单调性，即可求得函数的最小值．

解答：解：设汽车的运输成本为y，由题意得y=(4v2+a2)•

100

v

=400v+

100a2

v

（0＜v≤50）…（4分）
当400v=

100a2

v

时，即v=

a

2

且

a

2

≤50时，y有最小值为400a …（6分）
当

a

2

＞50时，设0＜v₁＜v₂＜50，则y2-y1=400v2+

100a2

v2

-400v1-

100a2

v1

=400(v2-v1)+

100a2(v1-v2)

v2v1

=100(v2-v1)(

4v1v2-a2

v1v2

)…（8分）
∵

a

2

＞v1＞0，

a

2

＞v2＞0，∴4v1v2＜a2
∴y₂-y₁＜0
∴函数y=400v+

100a2

v

(0＜v≤50)为减函数…（10分）
此时当v=50时y有最小值为20000+2a²…（12分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，考查函数最值的求法，正确求函数的最值是关键．